Question

Problema interesante que me plantearon a mi en bachillerato. "Una partícula puntual de masa m resbala desde el punto más elevado de una esfera de radio R que no ofrece rozamiento. Cacula razonadamente el punto en que pierde contacto con la misma." La solución es 48º y su resolución francamente interesante.

Answer 1

Sí que es un problema interesante. Se puede resolver utilizando la conservación de la energía y el esquema de fuerzas que actúan sobre la partícula.
Cuando la partícula ha resbalado un ángulo theta, la energía cinética que adquiere es la diferencia de energía potenciales entre la posición inicial y la actual:
\[\frac{ 1 }{2 } \; m v^2 = mgR\; (1-\cos \theta)\]

En general, las fuerzas aplicadas sobre la partícula son: la normal de la esfera, el peso y la fuerza centrífuga. La normal y la fuerza centrífuga tienden a separar la partícula de la esfera y la componente del peso en la dirección radial tiende a que se quede pegada a la esfera. El caso límite sucede cuando la normal es nula y la componente del peso se iguala a la fuerza centrífuga. Llamaremos al ángulo límite $$\theta_{max}$$

\[m \frac{ v^2 }{ R } = mg \; \cos \theta_{max}\]

donde el término de la izquierda es la fuerza centrífuga y la de la derecha es la componente del peso. De la conservación de la energía podemos obtener:

\[m v^2 = 2m g R \; (1 - \cos \theta_{\max})\]

Por tanto,

\[2m g \; (1 - \cos \theta_{\max}) = mg \cos \theta_{max} \]

Así pues,

\[3 \; \cos \theta_{max} = 2 \]

y

\[\theta_{max} = 48.19 ^\circ \]