Question

which is bigger 2012^2013 or 2013^2012?
I'm looking for how to do this other than the answer

Answer 1

We're dealing with exponents, so we can use logs to pull them down


Apply the log function to the first expression

2012^2013

log(2012^2013 )

2013*log(2012)

6,650.20311646078


Then apply the log function to the second expression

2013^2012

log(2013^2012 )

2012*log(2013)

6,647.33367507598


Since 6,650.20311646078 > 6,647.33367507598,
this means that 2012^2013 > 2013^2012

Answer 2

I really appreciate your answer. but I'm looking for a way to get this answer without using any calculator

Answer 3

*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012*2012

Answer 4

does that help ??

Answer 5

Try showing the general case, that
\[n^{n+1}<(n+1)^n\]
or the other direction, with \(>\).

Answer 6

well there's no general case
if we take
2^3<3^2
3^4>4^3

Answer 7

There is, though it only starts after \(n=4\).
\[\begin{matrix}
\underline{n}&&\underline{n^{n+1}}&&\underline{(n+1)}^n\\
1&&1&&2\\
2&&8&&9\\
3&&81&&64\\
4&&1024&&625\\
5&&15625&&7776\\
6&&279936&&117649\\
\vdots&&\vdots&&\vdots
\end{matrix}\]

Answer 8

okay, thanks for your tip. I'll try to use induction to prove that then

Answer 9

I'm having hard time prove ^this using induction. Any other thoughts?

Answer 10

Hmm ... we're pretty sure that \(n^{n+1}\) is greater than \((n+1)^n\) for \(n\ge4\):
\[n^{n+1}\ge (n+1)^n\]
Consider each side of this inequality as a sequence, \(a_n=n^{n+1}\) and \(b_n=(n+1)^n\). If you can show that the ratio of each \(n\)-th term of \(b_n\) to \(a_n\), or \(\dfrac{b_n}{a_n}\), forms a sequence that converges to 0, then this might work.

For the sequence \(\dfrac{b_n}{a_n}\) to converge, you must have that this sequence is monotonic and bounded. Well, we know it's bounded, and we think it's monotonically decreasing (since we think the denominator is larger than the numerator). I'm wondering if you can apply the ratio test to a sequence to show this...